Standard Deviation Calculator with Coefficient of Variation Calculator — मानक विचलन और सापेक्ष विचलन कैलकुलेटर

Standard Deviation Calculator with Coefficient of Variation Calculator | मानक विचलन & सापेक्ष विचलन कैलकुलेटर

Standard Deviation & Coefficient of Variation Calculator

मानक विचलन और सापेक्ष विचलन कैलकुलेटर

Calculate SD & CV for Individual, Discrete, Continuous series using Direct & Indirect methods

Individual
Discrete
Continuous
Direct Method
Indirect Method
Population
Sample

Enter individual values as comma-separated list.

How to use the Standard Deviation & Coefficient of Variation Calculator:

  1. Select series type (Individual, Discrete, or Continuous)
  2. Choose calculation method (Direct or Indirect)
  3. Select data type (Population or Sample)
  4. Enter values according to the selected series type
  5. For Indirect method, you can enter assumed mean (optional)
  6. Click “Calculate SD & CV” to see results and step-by-step solution
  7. Coefficient of Variation (CV) is automatically calculated as (SD/Mean)×100%

Related Calculators

Mean Calculator Median Calculator Mode Calculator Weighted Mean Calculator
Standard Deviation & Coefficient of Variation Results
Mean (माध्य)
–
Variance (प्रसरण)
–
Std Dev (मानक विचलन)
–
CV (सापेक्ष विचलन)
–
–
Calculation Table
Step-by-Step Calculation
मानक विचलन कैलकुलेटर: संपूर्ण गाइड, सूत्र और उदाहरण | Standard Deviation Calculator

मानक विचलन कैलकुलेटर: संपूर्ण गाइड, सूत्र और व्यावहारिक उदाहरण

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📚 इस गाइड में आप सीखेंगे:

1. मानक विचलन क्या है? (What is Standard Deviation?)

📌 मुख्य बिंदु (Key Points)

मानक विचलन (Standard Deviation) एक सांख्यिकीय माप है जो बताता है कि डेटा के मान औसत (माध्य) से कितना दूर या फैले हुए हैं। इसे ग्रीक अक्षर σ (सिग्मा) से दर्शाया जाता है।

मानक विचलन का महत्व (Importance of Standard Deviation)

मानक विचलन हमें निम्नलिखित जानकारी प्रदान करता है:

  • डेटा का फैलाव (Data Dispersion): डेटा मानों का माध्य से कितना विचलन है
  • सजातीयता/विजातीयता (Homogeneity/Heterogeneity): डेटा कितना एकसमान या विविध है
  • जोखिम माप (Risk Measurement): वित्त और निवेश में जोखिम का आकलन
  • गुणवत्ता नियंत्रण (Quality Control): उत्पादन प्रक्रिया में विचलन का माप
  • सांख्यिकीय महत्व (Statistical Significance): परिकल्पना परीक्षण और विश्वास अंतराल

मानक विचलन की विशेषताएँ (Characteristics of Standard Deviation)

मानक विचलन का मान
(SD Value)
डेटा की प्रकृति
(Data Nature)
व्याख्या
(Interpretation)
σ = 0
कोई विचलन नहीं
(No Deviation)
सभी मान माध्य के बराबर
(All values equal to mean)
σ छोटा
(Small σ)
कम विचलन
(Low Dispersion)
मान माध्य के निकट केंद्रित
(Values clustered near mean)
σ बड़ा
(Large σ)
अधिक विचलन
(High Dispersion)
मान माध्य से दूर फैले हुए
(Values spread far from mean)

2. मानक विचलन के सूत्र (Standard Deviation Formulas)

मूल सूत्र (Basic Formulas)

जनसंख्या मानक विचलन (Population Standard Deviation)
σ = √[Σ(xᵢ - μ)²/N]
जहाँ (Where):
σ = जनसंख्या मानक विचलन (Population Standard Deviation)
xᵢ = प्रत्येक मान (Each value)
μ = जनसंख्या माध्य (Population Mean)
N = कुल मानों की संख्या (Total number of values)
Σ = योग चिह्न (Summation symbol)
नमूना मानक विचलन (Sample Standard Deviation)
s = √[Σ(xᵢ - x̄)²/(n-1)]
जहाँ (Where):
s = नमूना मानक विचलन (Sample Standard Deviation)
xᵢ = प्रत्येक मान (Each value)
x̄ = नमूना माध्य (Sample Mean)
n = नमूना आकार (Sample size)
n-1 = बेसेल का सुधार (Bessel's correction)

मानक विचलन और प्रसरण का संबंध (Relation between SD and Variance)

प्रसरण (Variance) मानक विचलन का वर्ग होता है (Variance is the square of Standard Deviation):

प्रसरण = σ² (जनसंख्या) या s² (नमूना)
Variance = σ² (Population) or s² (Sample)
मानक विचलन = √प्रसरण (Standard Deviation = √Variance)
प्रसरण मूल मात्रकों में नहीं होता, जबकि मानक विचलन मूल मात्रकों में होता है।
(Variance is not in original units, while Standard Deviation is in original units.)

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मानक विचलन कैलकुलेटर खोलें →
Open Standard Deviation Calculator →

3. प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)

प्रत्यक्ष विधि मानक विचलन ज्ञात करने की मूल विधि है जिसमें सीधे माध्य से विचलन लेकर गणना की जाती है।

The Direct Method is the basic method for finding standard deviation where calculation is done directly from deviations from the mean.

प्रत्यक्ष विधि के चरण (Steps of Direct Method)

1

माध्य की गणना (Calculate Mean)

सभी मानों का योग करें और कुल संख्या से भाग दें (Sum all values and divide by total count):

μ = Σxᵢ/N
2

विचलन ज्ञात करें (Find Deviations)

प्रत्येक मान से माध्य घटाएँ (Subtract mean from each value):

dᵢ = xᵢ - μ
3

विचलनों के वर्ग (Square the Deviations)

प्रत्येक विचलन का वर्ग करें (Square each deviation):

dᵢ² = (xᵢ - μ)²
4

वर्गों का योग (Sum of Squares)

सभी वर्गित विचलनों का योग करें (Sum all squared deviations):

Σdᵢ² = Σ(xᵢ - μ)²
5

मानक विचलन (Standard Deviation)

योग को N से भाग दें और वर्गमूल लें (Divide sum by N and take square root):

σ = √[Σ(xᵢ - μ)²/N]

उदाहरण: व्यक्तिगत श्रृंखला (Example: Individual Series)

मान लीजिए हमारे पास निम्नलिखित 5 छात्रों के गणित के अंक हैं: 85, 90, 78, 92, 88

Suppose we have following marks of 5 students in Mathematics: 85, 90, 78, 92, 88

छात्र
(Student)		 अंक (xᵢ)
(Marks)		 xᵢ - μ
(Deviation)		 (xᵢ - μ)²
(Squared Deviation)
1 85 -1.6 2.56
2 90 3.4 11.56
3 78 -8.6 73.96
4 92 5.4 29.16
5 88 1.4 1.96
योग (Sum) 433 0 119.2
गणना (Calculation)

माध्य (Mean) μ = 433/5 = 86.6

वर्गों का योग (Sum of squares) = 119.2

प्रसरण (Variance) = 119.2/5 = 23.84

मानक विचलन (Standard Deviation) σ = √23.84 = 4.88

4. कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method)

कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method या Indirect Method) बड़े डेटासेट और दशमलव मानों के लिए उपयोगी है। यह विधि गणना को सरल बनाती है।

The Assumed Mean Method (or Indirect Method) is useful for large datasets and decimal values. This method simplifies calculation.

कल्पित माध्य विधि का सूत्र (Formula of Assumed Mean Method)

σ = √[Σdᵢ²/N - (Σdᵢ/N)²]
जहाँ (Where):
dᵢ = (xᵢ - A) = मान और कल्पित माध्य का अंतर (Difference between value and assumed mean)
A = कल्पित माध्य (Assumed Mean)
N = कुल मानों की संख्या (Total number of values)

कल्पित माध्य विधि के लाभ (Benefits of Assumed Mean Method)

  • गणना सरल (Simplified Calculation): दशमलव मानों से बचाव (Avoids decimal values)
  • समय बचत (Time Saving): बड़े डेटासेट के लिए तेज (Faster for large datasets)
  • कम त्रुटि (Less Error): गणना त्रुटियाँ कम होती हैं (Reduces calculation errors)
  • लचीलापन (Flexibility): किसी भी मान को कल्पित माध्य चुन सकते हैं (Can choose any value as assumed mean)

उदाहरण: खंडित श्रृंखला (Example: Discrete Series)

निम्नलिखित डेटा 30 छात्रों के अंकों का वितरण दर्शाता है (Following data shows distribution of marks of 30 students):

अंक (xᵢ)
(Marks)		 छात्रों की संख्या (fᵢ)
(Number of Students)		 dᵢ = xᵢ - A (A=55)
(Deviation)		 fᵢdᵢ
(f × d)		 dᵢ²
(d²)		 fᵢdᵢ²
(f × d²)
40 4 -15 -60 225 900
50 6 -5 -30 25 150
55 8 0 0 0 0
60 7 5 35 25 175
70 5 15 75 225 1125
योग (Sum) 30 - 20 - 2350
गणना (Calculation)

Σfᵢdᵢ = 20, Σfᵢdᵢ² = 2350, N = 30

प्रसरण (Variance) = [Σfᵢdᵢ²/N] - [Σfᵢdᵢ/N]²

प्रसरण = [2350/30] - [20/30]²

Variance = 78.3333 - 0.4444 = 77.8889

मानक विचलन (Standard Deviation) σ = √77.8889 = 8.825

5. व्यक्तिगत, खंडित और सतत श्रृंखला (Individual, Discrete & Continuous Series)

श्रृंखला प्रकार
(Series Type)
परिभाषा
(Definition)
उदाहरण
(Example)
सूत्र में फर्क
(Formula Difference)
व्यक्तिगत श्रृंखला
(Individual Series)
अवर्गीकृत आंकड़े
(Ungrouped Data)
85, 90, 78, 92, 88
σ = √[Σ(xᵢ-μ)²/N]
खंडित श्रृंखला
(Discrete Series)
मान + आवृत्ति
(Value + Frequency)
40(4), 50(6), 55(8)
σ = √[Σfᵢ(xᵢ-μ)²/N]
सतत श्रृंखला
(Continuous Series)
वर्ग अंतराल + आवृत्ति
(Class Interval + Frequency)
0-10(5), 10-20(8)
σ = √[Σfᵢ(mᵢ-μ)²/N]

सतत श्रृंखला के लिए विशेष सूत्र (Special Formula for Continuous Series)

सतत श्रृंखला में हम वर्ग मध्य बिंदु (mid-point) का उपयोग करते हैं (In continuous series we use class mid-point):

कल्पित माध्य विधि (सतत श्रृंखला)
Assumed Mean Method (Continuous Series)
σ = i × √[Σfᵢuᵢ²/N - (Σfᵢuᵢ/N)²]
जहाँ (Where):
uᵢ = (mᵢ - A)/i
mᵢ = वर्ग मध्य बिंदु (Class midpoint)
A = कल्पित माध्य (Assumed mean)
i = वर्ग अंतराल (Class interval)

6. जनसंख्या vs नमूना मानक विचलन (Population vs Sample Standard Deviation)

📊 महत्वपूर्ण अंतर (Important Difference)

जनसंख्या (Population) और नमूना (Sample) मानक विचलन में मुख्य अंतर हर (denominator) में होता है। नमूने के लिए हम n-1 का उपयोग करते हैं जिसे बेसेल का सुधार (Bessel's correction) कहते हैं।

The main difference between Population and Sample Standard Deviation is in the denominator. For sample we use n-1 which is called Bessel's correction.

पैरामीटर
(Parameter)
जनसंख्या
(Population)
नमूना
(Sample)
प्रतीक (Symbol)
σ (सिग्मा)
s
माध्य (Mean)
μ (म्यू)
x̄ (x-bar)
सूत्र (Formula)
σ = √[Σ(xᵢ-μ)²/N]
s = √[Σ(xᵢ-x̄)²/(n-1)]
आकार (Size)
N (संपूर्ण समुच्चय)
(Entire set)
n (भाग)
(Part)
उपयोग (Usage)
जब पूरी जनसंख्या उपलब्ध हो
(When entire population available)
जब नमूना लिया गया हो
(When sample taken)

बेसेल का सुधार क्यों? (Why Bessel's Correction?)

नमूना मानक विचलन में n-1 का उपयोग निम्नलिखित कारणों से किया जाता है (Sample standard deviation uses n-1 for following reasons):

  • पूर्वाग्रह निवारण (Bias Reduction): नमूने से जनसंख्या का अनुमान लगाने में पूर्वाग्रह कम करता है
  • स्वतंत्रता की डिग्री (Degrees of Freedom): n-1 स्वतंत्र डेटा बिंदुओं की संख्या है
  • सांख्यिकीय गुण (Statistical Property): जनसंख्या प्रसरण का निष्पक्ष अनुमानक है
  • छोटे नमूनों के लिए (For Small Samples): विशेष रूप से छोटे नमूनों के लिए महत्वपूर्ण
नमूना प्रसरण के लिए सूत्र (Formula for Sample Variance)
s² = Σ(xᵢ - x̄)²/(n-1)
यह सूत्र जनसंख्या प्रसरण σ² का निष्पक्ष अनुमानक है
(This formula is an unbiased estimator of population variance σ²)
n के स्थान पर n-1 का उपयोग अनुमान को अधिक सटीक बनाता है
(Using n-1 instead of n makes the estimate more accurate)

7. वास्तविक जीवन के उदाहरण (Real Life Examples)

1. शिक्षा में उपयोग (Use in Education)

परीक्षा परिणाम विश्लेषण (Exam Result Analysis): एक कक्षा के 50 छात्रों के गणित के अंक (Marks of 50 students in Mathematics):

  • माध्य अंक (Mean marks): 75/100
  • मानक विचलन (Standard Deviation): 12 अंक (marks)
  • व्याख्या (Interpretation): अधिकांश छात्रों के अंक 75±12 (63-87) के बीच हैं (Most students' marks are between 75±12 (63-87))

2. वित्त और निवेश (Finance and Investment)

शेयर बाजार में जोखिम माप (Risk Measurement in Stock Market):

निवेश जोखिम माप (Investment Risk Measurement)

उच्च मानक विचलन = उच्च जोखिम = उच्च संभावित रिटर्न (High SD = High Risk = High Potential Return)
निम्न मानक विचलन = निम्न जोखिम = निम्न संभावित रिटर्न (Low SD = Low Risk = Low Potential Return)

3. गुणवत्ता नियंत्रण (Quality Control)

उत्पादन प्रक्रिया (Production Process): एक फैक्टरी में बनने वाले बोल्ट की लंबाई (Length of bolts produced in a factory):

  • लक्ष्य लंबाई (Target length): 10 सेमी (cm)
  • स्वीकार्य विचलन (Acceptable deviation): ±0.2 सेमी (cm)
  • यदि σ > 0.2 सेमी, तो प्रक्रिया को समायोजित करना होगा (If σ > 0.2 cm, then process needs adjustment)

4. चिकित्सा अनुसंधान (Medical Research)

रक्तचाप अध्ययन (Blood Pressure Study): 100 रोगियों का औसत रक्तचाप (Average blood pressure of 100 patients):

  • माध्य रक्तचाप (Mean blood pressure): 120 mmHg
  • मानक विचलन (Standard Deviation): 15 mmHg
  • 95% रोगियों का रक्तचाप (95% patients' BP): 120 ± 2×15 = 90-150 mmHg

📈 अनुभवजन्य नियम (68-95-99.7 Rule)

सामान्य वितरण (Normal Distribution) में (In Normal Distribution):

  • 68% डेटा माध्य के ±1σ के भीतर (68% data within mean ±1σ)
  • 95% डेटा माध्य के ±2σ के भीतर (95% data within mean ±2σ)
  • 99.7% डेटा माध्य के ±3σ के भीतर (99.7% data within mean ±3σ)

📊 मानक विचलन की गणना अब आसान! (Standard Deviation Calculation Now Easy!)

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8. मानक विचलन कैलकुलेटर का उपयोग (Standard Deviation Calculator Usage)

हमारा Standard Deviation Calculator with frequency, online calculator, using mean, for grouped data, in Excel, with steps, formula, sample, and frequency table support सभी प्रकार की श्रृंखलाओं और विधियों के लिए काम करता है।

Our Standard Deviation Calculator works for all types of series and methods.

कैलकुलेटर की विशेषताएँ (Calculator Features)

1

Standard Deviation Calculator with frequency

आवृत्ति के साथ मानक विचलन गणना (Calculate standard deviation with frequency)

Perfect for frequency distribution data analysis

2

Standard Deviation Calculator online

ऑनलाइन मुफ्त कैलकुलेटर (Free online calculator)

Accessible from any device with internet connection

3

Standard Deviation Calculator using mean

माध्य का उपयोग करके गणना (Calculation using mean)

Direct method with automatic mean calculation

4

Standard Deviation Calculator for grouped data

वर्गीकृत आँकड़ों के लिए (For grouped data analysis)

Supports class intervals and frequency distribution

5

Standard Deviation Calculator in Excel

एक्सेल फॉर्मेट में निर्यात (Export in Excel format)

Download results in CSV format compatible with Excel

6

Standard Deviation Calculator with steps

चरण-दर-चरण समाधान (Step-by-step solution)

Complete calculation process with detailed steps

7

Standard Deviation Calculator formula

सभी सूत्रों का प्रदर्शन (Display of all formulas)

Shows both population and sample formulas

8

Standard Deviation Calculator sample

नमूना डेटा के लिए (For sample data)

Includes Bessel's correction for unbiased estimation

9

Standard Deviation Calculator from frequency table

आवृत्ति सारणी से गणना (Calculation from frequency table)

Direct input from frequency distribution tables

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें (How to Use the Calculator)

  1. श्रृंखला प्रकार चुनें (Choose Series Type): व्यक्तिगत, खंडित या सतत (Individual, Discrete or Continuous)
  2. विधि चुनें (Choose Method): प्रत्यक्ष या कल्पित माध्य विधि (Direct or Assumed Mean Method)
  3. डेटा प्रकार (Data Type): जनसंख्या या नमूना (Population or Sample)
  4. मान दर्ज करें (Enter Values): आवश्यक मान कॉमा से अलग करके दर्ज करें (Enter required values separated by comma)
  5. गणना करें (Calculate): "Calculate SD" बटन पर क्लिक करें (Click "Calculate SD" button)
  6. परिणाम देखें (View Results): माध्य, प्रसरण, मानक विचलन और पूरी गणना प्रक्रिया (Mean, Variance, Standard Deviation and complete calculation process)

💡 कैलकुलेटर के लाभ (Calculator Benefits)

  • समय बचत (Time Saving): मैनुअल गणना से 90% समय बचत (90% time saved from manual calculation)
  • शून्य त्रुटि (Zero Error): कंप्यूटर गणना में त्रुटि नहीं होती (No error in computer calculation)
  • शैक्षिक उपयोग (Educational Use): छात्रों के लिए उत्कृष्ट शिक्षण उपकरण (Excellent teaching tool for students)
  • पेशेवर उपयोग (Professional Use): शोधकर्ताओं और विश्लेषकों के लिए उपयोगी (Useful for researchers and analysts)
  • मुफ्त और सुलभ (Free and Accessible): कोई लागत नहीं, किसी भी डिवाइस से उपयोग (No cost, use from any device)

उन्नत विशेषताएँ (Advanced Features)

विशेषता
(Feature)
विवरण
(Description)
लाभ
(Benefit)
Standard Deviation Calculator with frequency
आवृत्ति वितरण डेटा के लिए समर्थन
(Support for frequency distribution data)
सर्वेक्षण और अनुसंधान डेटा विश्लेषण
(Survey and research data analysis)
Standard Deviation Calculator online
वेब-आधारित मुफ्त पहुँच
(Web-based free access)
किसी भी डिवाइस से उपयोग
(Use from any device)
Standard Deviation Calculator in Excel
एक्सेल फॉर्मेट में निर्यात
(Export in Excel format)
व्यावसायिक रिपोर्टिंग के लिए उपयोगी
(Useful for professional reporting)
Standard Deviation Calculator with steps
पूरी गणना प्रक्रिया दिखाएँ
(Show complete calculation process)
शिक्षण और सीखने में मदद
(Helps in teaching and learning)
Standard Deviation Calculator from frequency table
सीधे आवृत्ति सारणी डेटा इनपुट
(Direct frequency table data input)
समय बचत और सुविधाजनक
(Time-saving and convenient)

निष्कर्ष (Conclusion)

Standard Deviation Calculator with frequency, online calculator, using mean, for grouped data, in Excel, with steps, formula, sample, and frequency table support - यह सभी विशेषताएँ हमारे मानक विचलन कैलकुलेटर में उपलब्ध हैं। मानक विचलन सांख्यिकी का एक मौलिक और शक्तिशाली उपकरण है जो डेटा के फैलाव को समझने में मदद करता है।

Standard Deviation Calculator with frequency, online calculator, using mean, for grouped data, in Excel, with steps, formula, sample, and frequency table support - all these features are available in our calculator. Standard Deviation is a fundamental and powerful tool in statistics that helps understand data dispersion.

🎯 मुख्य सीख (Key Learnings)

  • Standard Deviation Calculator with frequency - आवृत्ति डेटा विश्लेषण के लिए
  • Standard Deviation Calculator online - कहीं से भी पहुँच के लिए
  • Standard Deviation Calculator using mean - माध्य-आधारित गणना के लिए
  • Standard Deviation Calculator for grouped data - वर्गीकृत आँकड़ों के लिए
  • Standard Deviation Calculator in Excel - एक्सेल संगतता के लिए
  • Standard Deviation Calculator with steps - सीखने के लिए चरण-दर-चरण प्रदर्शन
  • Standard Deviation Calculator formula - सभी सूत्रों का प्रदर्शन
  • Standard Deviation Calculator sample - नमूना डेटा विश्लेषण के लिए
  • Standard Deviation Calculator from frequency table - आवृत्ति सारणी से सीधी गणना

आशा है कि यह व्यापक गाइड आपको मानक विचलन की अवधारणा को समझने और हमारे Standard Deviation Calculator with frequency, online calculator, using mean, for grouped data, in Excel, with steps, formula, sample, and frequency table support का प्रभावी ढंग से उपयोग करने में मदद करेगी। गणितीय गणनाओं के लिए Ganit Calculator आपका विश्वसनीय साथी है।

We hope this comprehensive guide helps you understand the concept of Standard Deviation and effectively use our Standard Deviation Calculator with all features. Ganit Calculator is your reliable companion for mathematical calculations.

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